Acertijo clásico
El acertijo del puente y la linterna parece de sumar, pero es de organizarse: quién cruza con quién y quién trae la linterna de vuelta. Juégalo en el simulador y después mira la solución, las variantes y la regla para decidir quién va con quién.
Es de noche y cuatro personas tienen que cruzar un puente angosto. Pasan como mucho dos a la vez y siempre con la única linterna que tienen. La linterna no se puede lanzar al otro lado: alguien tiene que traerla de vuelta. Una tarda 1 minuto en cruzar; otra, 2; otra, 5, y la última, 10. Si van dos juntas, avanzan al ritmo de la más lenta. A la linterna le quedan 17 minutos de pila. ¿Pueden cruzar las cuatro?
Para abreviar, a cada persona la llamamos por lo que tarda: el 1, el 2, el 5 y el 10.
Toca una o dos personas de la orilla que tiene la linterna y después «Cruzar» (o «Volver»). El reloj suma lo que tarda la más lenta de cada viaje. Puedes deshacer, reiniciar o cambiar de versión. Son las reglas del modo Ingenio de Lamparita.
El simulador necesita JavaScript, pero alcanza con papel y lápiz: anota quién está de cada lado, dónde quedó la linterna y cuántos minutos llevan.
Lo primero que se le ocurre a casi todo el mundo es que el más rápido haga de guía: cruza con cada uno y vuelve solo con la linterna. Así cada vuelta dura lo mínimo posible, pero las cuentas no dan: cruzan el 1 y el 2, vuelve el 1, cruzan el 1 y el 5, vuelve el 1 y cruzan el 1 y el 10. Son 2 + 1 + 5 + 1 + 10 = 19 minutos, dos de más.
Las vueltas ya son baratas; el problema está en las idas: el 5 y el 10 cruzan en viajes distintos, y se pagan los dos tiempos largos.
El 10 va a gastar 10 minutos sí o sí. ¿Con quién le conviene cruzar para que esos minutos rindan más?
Sí, se puede. Antes de abrirla, dale otra oportunidad al simulador.
| Paso | Cruce | Reloj |
|---|---|---|
| 1 | Cruzan 1 y 2 (2 min) | 2 min |
| 2 | Vuelve 1 (1 min) | 3 min |
| 3 | Cruzan 5 y 10 (10 min) | 13 min |
| 4 | Vuelve 2 (2 min) | 15 min |
| 5 | Cruzan 1 y 2 (2 min) | 17 min |
El truco está en el paso 2: el 2 se queda del otro lado, esperando. Cuando el 5 y el 10 llegan juntos, ninguno tiene que volver: la linterna la trae el 2, que es rápido. También funciona si en el paso 2 vuelve el 2 y en el 4 vuelve el 1. Y 17 es el mínimo: probando todas las formas de cruzar, no hay ninguna de 16 minutos o menos.
En la solución, el 10 cruza con el 5 y ese viaje dura 10 minutos, lo mismo que si fuera solo: el 5 pasa gratis. Frente al guía se ahorran el viaje del 5 y una vuelta del 1 (5 + 1 = 6 minutos), y a cambio el 2 hace dos viajes de más, una vuelta y otra ida (2 + 2 = 4 minutos). El saldo son 2 minutos a favor, justo los que separan 19 de 17.
Ordena los tiempos de menor a mayor: a y b son los dos más rápidos; y, el segundo más lento, y z, el más lento. Para pasar a esos dos y dejar la linterna otra vez en la orilla de partida, hay dos maneras que compiten:
En las dos, a y b terminan en la orilla de partida, así que basta con comparar: conviene que crucen juntos cuando 2b < a + y. Si 2b es mayor, conviene el guía, y si son iguales, da lo mismo. Con 1, 2, 5 y 10, 2 × 2 = 4 es menor que 1 + 5 = 6: van juntos.
Con cinco personas o más, la comparación se repite por etapas, siempre con los dos más lentos que todavía no cruzaron: y pasa a ser el segundo más lento de los que quedan, y a y b son siempre los mismos, porque cada etapa los deja de nuevo en la orilla de partida. Cuando quedan tres, el más rápido hace de guía; cuando quedan dos, cruzan juntos. Como y es cada vez menor, una vez que conviene el guía, conviene hasta el final.
¿Da siempre el mínimo? En todo lo que probamos, sí: por computadora, comparamos la regla por etapas con una búsqueda que prueba todas las formas de cruzar, en todos los grupos de cuatro, cinco y seis personas con tiempos distintos entre 1 y 12 minutos, y siempre dieron lo mismo.
Tres versiones para practicar la regla.
Ahora tardan 1, 2, 5 y 8 minutos, y a la linterna le quedan 15. ¿Llegan a cruzar?
Sí, en 15 justos. Como 2 × 2 = 4 es menor que 1 + 5 = 6, el 5 y el 8 cruzan juntos. Con el 1 de guía serían 2 + 1 + 5 + 1 + 8 = 17 y la linterna se apagaría en medio del puente.
| Paso | Cruce | Reloj |
|---|---|---|
| 1 | Cruzan 1 y 2 (2 min) | 2 min |
| 2 | Vuelve 1 (1 min) | 3 min |
| 3 | Cruzan 5 y 8 (8 min) | 11 min |
| 4 | Vuelve 2 (2 min) | 13 min |
| 5 | Cruzan 1 y 2 (2 min) | 15 min |
Se suma una quinta persona. Tardan 1, 3, 6, 8 y 12 minutos, y la linterna dura 30. ¿Les alcanza?
Sí, en 29. En la primera etapa, los dos más lentos son el 8 y el 12, y 2 × 3 = 6 es menor que 1 + 8 = 9: cruzan juntos (pasos 1 a 4). Con los tres que quedan, el 1, el 3 y el 6, ya no hay nada que comparar: el 1 hace de guía (pasos 5 a 7). Con el 1 acompañando a todos desde el principio serían 3 + 6 + 8 + 12 + 3 × 1 = 32.
| Paso | Cruce | Reloj |
|---|---|---|
| 1 | Cruzan 1 y 3 (3 min) | 3 min |
| 2 | Vuelve 1 (1 min) | 4 min |
| 3 | Cruzan 8 y 12 (12 min) | 16 min |
| 4 | Vuelve 3 (3 min) | 19 min |
| 5 | Cruzan 1 y 6 (6 min) | 25 min |
| 6 | Vuelve 1 (1 min) | 26 min |
| 7 | Cruzan 1 y 3 (3 min) | 29 min |
Cuatro personas tardan 1, 4, 5 y 6 minutos, y la linterna dura 17. ¿Cómo cruzan?
Aquí gana el guía: 2 × 4 = 8 no es menor que 1 + 5 = 6. El 1 acompaña a cada uno y llegan en 6 + 1 + 5 + 1 + 4 = 17. Si el 5 y el 6 cruzaran juntos, el 4 tendría que cruzar tres veces: 4 + 1 + 6 + 4 + 4 = 19. Cuando el segundo más rápido no es tan rápido, sus viajes de más cuestan más de lo que se ahorra.
| Paso | Cruce | Reloj |
|---|---|---|
| 1 | Cruzan 1 y 6 (6 min) | 6 min |
| 2 | Vuelve 1 (1 min) | 7 min |
| 3 | Cruzan 1 y 5 (5 min) | 12 min |
| 4 | Vuelve 1 (1 min) | 13 min |
| 5 | Cruzan 1 y 4 (4 min) | 17 min |
En el modo Ingenio de Lamparita salen puentes, jarras y cruces de río con números nuevos en cada partida. Juégalo contra tus amigos.
Crear partidaLamparita es un juego: el IQ de batalla es el puntaje de la partida y no mide la inteligencia.